Мы привыкли пользоваться благами цивилизации – автомобилем, телефоном, телевизором и прочей техникой, делающей нашу жизнь легче и интереснее. Тысячи изобретений потребовалось для этого, но самым важным из них были первые – колесо и число. Без них не было бы всего нашего технического великолепия. У этих двух изобретений есть общая черта – ни колеса, ни числа нет в природе, и то и другое – плод деятельности человеческого разума.
Казалось бы, что понятие числа должно возникнуть одновременно с умением считать, но это далеко не так. Замечено, что считать до пяти умеют и кошки и свиньи, но чтобы перейти от пяти предметов к числу «пять», требовалось великое открытие, и вот почему. Пять собак или пять овец – это совсем не то, что пять орехов. Ведь пять орехов – очень мало, съел – и не заметил, а пять овец – очень много, их хватит, чтобы долго кормиться большой семье. Пять собак – это стая, которая может хорошо защитить от диких зверей, а пять блох на собаке и разглядеть-то трудно. Разве можно их сравнивать?
Знаменитый русский путешественник Н.Н. Миклухо-Маклай, проведший много лет среди туземцев на островах Тихого океана, обнаружил, что у некоторых племён имеется три способа счёта: для людей, для животных и для утвари, оружия и прочих неодушевлённых предметов. То есть там в то время ещё не появилось понятие числа, не было осознано, что три ореха, три овцы и три ребёнка обладают общим свойством – их количество равно трём.
Итак, появились числа 1, 2, 3, …, которыми можно выразить количество коров в стаде, деревьев в саду, волос на голове. Эти числа в последствии получили название натуральных. Гораздо позднее появился ноль, которым обозначали отсутствие рассматриваемых предметов. Послушаем историю появления ноля(Приложение 1).
Однако торговцам и ремесленникам натуральных чисел было мало, поскольку возникали задачи деления на части земли, наследства и многого другого. Так появились дроби и правила обращения с ними. Послушаем историю появления дробей (Приложения 2, 3).
Таким образом, любую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. В наши дни редко пользуются обыкновенными дробями, предпочитают десятичные.
Вернемся к истории, с появлением дробей торговцам и ремесленникам чисел было уже достаточно. Кстати, если к множеству целых чисел присоединить все дробные числа, то получится множестворациональных чисел (от лат. ratio – «разум», буквальный перевод: «рациональное число – разумное число»). Рациональные числа – это числа, представимые в виде отношения, т.е. обыкновенной дроби. Кроме того, любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Но ещё математики Древней Греции, ученики знаменитого Пифагора, обнаружили, что есть числа, которые не выражаются никакой дробью. Первым таким числом стала длина диагонали квадрата, сторона которого равна единице. Это так поразило пифагорейцев, что они решили скрыть этот факт от всех. Но, как это часто бывает со всякого рода тайнами, нашелся некто Гиппас, который все же не удержался и, как мы сказали бы теперь, разгласил запретную информацию. Легенда утверждает, что боги наказали его – он утонул во время кораблекрушения. Новые числа стали называть иррациональными («неразумными»). О первом иррациональном числе нам расскажет … (Приложение 4).
На этом история числа не кончилась. Математики ввели отрицательные числа, которые оказались очень удобными при решении многих задач. Казалось бы, уже всё, но в ряде случаев возникает потребность найти число, квадрат которого равен минус единице. Среди известных чисел такого не оказалось, поэтому его обозначили буквой iи назвали мнимой единицей. Числа, полученные умножением ранее известных чисел на мнимую единицу, например, 2i или 3i/4, слали называть мнимыми, в отличие от существовавших, которые стали называть действительными или вещественными, а сумму действительных и мнимых чисел, такие как 5 + 3i, стали называть комплексными числами.
Сначала многие математики не признавали комплексных чисел, пока не убедились в том, что с их помощью можно решать многие технические задачи, которые до этого не поддавались решению. Так, с их помощью русский математик и механик Николай Егорович Жуковский создал теорию падения, показал, как можно рассчитывать подъёмную силу, возникающую при обтекании воздухом крыла самолёта.
А история числа продолжается…
Литература
Акимова С. Занимательная математика. – Санкт-Петербург, «Тригон», 1997, стр.264.
Глейзер Г.И. История математики в школе: 4-6 кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981, стр.35.
Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2000, стр.114.
Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры: Кн. для учащихся 7-9 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1990, стр.104.
Энциклопедия для детей. Т.11. Математика. – М.: Аванта+, 2002, стр.153.
Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Сост. А.П Савин и др. – М.: ООО «Изд. АСТ-ЛТД», 1997, стр.55.
Думаю, вы неоднократно слышали о достижениях математиков Древней Греции. Они поистине великолепны и вызывают невольное восхищение.
Но одного открытия древние греки не сделали. Они не придумали ноля.
Нам легко с высоты многовекового опыта человечества пожимать плечами: подумаешь, ноль! Что же это греки, а за ними и римляне, так оплошали? До такой простой вещи не додумались!
А это было совсем не просто. Что такое «ничего»? Пустое место! Если ничего нет, кому придет в голову что-то писать, когда можно не писать ничего! Кто первым догадался обозначить цифрой «ничто»? Мы никогда не узнаем. Можем только утверждать, что таких гениев было несколько. Кто-то придумал знак для нуля в Древнем Вавилоне. Кто-то из индейцев майя – в Америке. Кто-то – в Китае. И кто-то из мудрецов Индостана обозначил пустое место тем самым кружком, которым весь мир пользуется до сих пор.
Итак, началась славная жизнь ноля – цифры и числа.
Ноль-цифра дал возможность не выдумывать новых знаков для больших чисел. Теперь любое число можно было записать, используя одни и те же цифры, и уже не спутаешь 12 со 120 или 102 – если в каком-то числе есть сотни и единицы, но нет десятков, в отведенном для десятков месте достаточно написать, что их – ноль. Появилась позиционная система счисления, в которой значение цифры зависит от ее места в числе – позиции. А пользоваться ею куда удобнее...
Ноль-число и сам по себе весьма примечателен. К какому числу его ни прибавь, оно не изменится (ведь мы прибавили «ничего»). На какое число его ни умножь, будет снова ноль (мы взяли число ноль раз, т.е. ни разу). Сам он делится на любое число (пустое место как ни дели – все равно ничего не будет). Зато делить на него самого нельзя: разве можно что-то разделить на ноль частей? Если бы это удалось, как из нуля частей сложить вновь то, что мы разделили? Чтобы избежать этой неприятности, деление на ноль пришлось запретить.
Ноль – удобное обозначение начала пути. Если вы едете по шоссе, мимо вас мелькают километровые столбы: 10 км, 11 км, 12 км... от чего? От главного почтамта того города, откуда вы выехали. Расстояние от почтамта до него самого же равно нулю – ни идти, ни ехать не надо... По железным дорогам России все расстояния считают от Москвы (кроме Октябрьской железной дороги, где отсчет идет от Санкт-Петербурга). Так что Москва – это ноль на карте железных дорог, точка, из которой все начинается.
А точка, от которой отсчитывают расстояния в Венгрии, отмечена особо. В этом месте (оно находится в центре Будапешта) поставлен – ни много ни мало – памятник нулю. Ни одна другая цифра не удостоилась таких почестей!
Ноль – начало всех времен... Только где это начало? Может быть это момент возникновения Вселенной? Но если такой момент и был, то очень давно, и точно сказать, сколько лет прошло с тех пор, никто не сможет – разве что примерно, с точностью до миллиардов лет. А считать годы нужно. Но раз неизвестно, когда состоялось «сотворение мира», почему не поступить так же, как и с расстояниями? Выберем какое-нибудь знаменательное событие, скажем, что оно произошло в нулевой момент времени, и от него пойдет первый год. Так мы и делаем: говорим, что первый год нашей эры начался с Рождества Христова, а все, что было до того – было до нашей эры.
Между прочим, если бы мы считали годы только слева направо (ведь на самом деле до Рождества Христова мы считаем справа налево: первый, второй,…, сотый – все дальше от нуля), «нулевым» оказался бы последний год до нашей эры – от «минус первого» года до нуля. Так что круглым числом 0 заканчивается предыдущий век (до н.э.), а не начинается новый. И 2000 год – это последний год XX века, а вовсе не первый год третьего тысячелетия. Но круглые числа так красивы, что убедить человечество отложить на год торжества по поводу наступления XXI века, видимо, не удастся.
Впрочем, так ли это важно?...
Литература
Глейзер Г.И. История математики в школе: 4-6 кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981, стр.80.
Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Сост. А.П. Савин и др. – М.: ООО «Изд. АСТ-ЛТД», 1997, стр.28.
Необходимость в дробных числах возникла в результате практической деятельности человека. Потребность в нахождении долей единицы появилась наших предков при дележе добычи после охоты. Второй существенной причиной появления дробных чисел следует считать измерение величин при помощи выбранной единицы измерения.
Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей (три – «треть», четыре – «четверть» и т. д.), для половины это не так – ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два». Следующей дробью была треть.
Таким образом, первые дроби, с которыми нас знакомит история, это дроби вида – – так называемые единичные дроби или аликвотные (от лат. aliquot – «несколько»).
Единичные дроби встречаются в древнейших дошедших до нас математических текстах, составленных более 5000 лет тому назад, – древнеегипетских папирусах и вавилонских клинописных табличках.
Египтяне все дроби старались записать как суммы единичных дробей (долей). Например, вместо они писали . Дробь записывали в виде долей: . Производить арифметические действия над числами, всякий раз раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно. Имеет ли пристрастие египтян к аликвотным дробям какое-либо объяснение?
Поясним это примером. Рассмотрим такую задачу: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми».
Очевидно, каждый должен получить одного хлеба. Современный школьник скорее всего решал бы задачу так: надо разрезать каждый хлеб на 8 равных частей и каждому человеку дать по одной части от каждого хлеба. А вот как эта задача решена на папирусе Райнда – это древнеегипетский математический текст, переписанный около 1650 г. до н.э. писцом Ахмесом.
Поскольку . Следовательно, каждому человеку нужно дать по половине, четверти и восьмушке хлеба. Теперь ясно, что надо 4 хлеба разрезать пополам, 2 хлеба на 4 части и только один хлеб – на 8 частей. И если нашему школьнику пришлось бы сделать 49 разрезов, то Ахмесу – всего 17, т.е. египетский способ почти в 3 раза экономичнее.
Для разложения неединичных дробей на сумму единичных существовали готовые таблицы, которыми и пользовались египетские писцы для необходимых вычислений.
Методы подсчетов при помощи единичных дробей перешли от египтян в Грецию, от греков к арабам, а от них уже в Западную Европу.
Складывать, умножать и делить дроби, записанные в виде долей, было неудобно.
В древности наибольшего развития обыкновенные дроби достигли в Индии. В рукописях, относящихся к 4 веку до нашей эры, встречаются уже не только единичные дроби, но и дроби с произвольными числителями. В начале VII столетия индийцы знали и формулировали правила действий над обыкновенными дробями. В Западной Европе окончательно установленную и ясную теорию обыкновенных дробей дал в 1585 году фламандский инженер Симон Стевин.
Литература
Акимова С. Занимательная математика. – Санкт-Петербург, «Тригон», 1997, стр.262.
Глейзер Г.И. История математики в школе: 4-6 кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981, стр.25-28.
Энциклопедия для детей. Т.11. Математика. – М.: Аванта+, 2002, с.176.
Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Сост. А.П. Савин и др. – М.: ООО «Изд. АСТ-ЛТД», 1997, стр.55.
ПРИЛОЖЕНИЕ 3
ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ
Сколько проблем возникает с обыкновенными дробями, мы уже говорили. Куда проще обращаться с десятичными дробями, в которых цифры дробной части (после запятой) показывают, сколько в числе десятых долей, сотых, тысячных и т.д. – точно так же, как в целом числе цифры показывают число сотен, десятков и единиц.
Во-первых, чтобы складывать, вычитать или перемножать такие дроби, не нужно никаких специальных правил вроде столь мучительного поиска общего знаменателя, которым приходится то и дело заниматься, складывая обыкновенные дроби. Все они уже приведены к общему знаменателю – десять (или сто, или тысяча, как вам больше нравится). Во-вторых, сделать из обыкновенной дроби десятичную ничего не стоит – дели себе числитель на знаменатель, пока не разделится без остатка, да записывай после запятой цифры результата...
Вот тут-то и подстерегает неприятность! Подавляющее число таких делений не заканчивается никогда! Если делить, скажем, десять на три, мы будем снова и снова получать все ту же тройку... Выход есть – остановиться, убедившись, что остатки повторяются, и сказать: «10 делить на 3 – это 3 и 3 в периоде». Можно доказать, что любая обыкновенная дробь после перевода в десятичную либо когда-нибудь оборвется (при делении выскочит нулевой остаток), либо будет иметь период... Вот только период этот может оказаться очень и очень длинным! Попробуйте-ка вычислить период такой простой с виду дроби, как 1/49. В нем ровнехонько 42 цифры!
Но практическим нуждам все эти тонкости совершенно не мешают. Кому может понадобиться длина веревки или даже размер детали сложного механизма с точностью до сорок второго знака после запятой, если даже размер электрона (в метрах!) отличается от нуля уже в семнадцатом знаке? Разумеется, в жизни просто округляют бесконечную десятичную дробь до конечной, а дальше с ней легко работать...
Появились десятичные дроби в трудах арабских математиков в средние века и независимо от них – в древнем Китае. Но и раньше, в древнем Вавилоне, использовали дроби такого же типа, но шестидесятеричные. В европейскую же практику десятичные дроби ввел Симон Стевин. До тех пор каждый, кто сталкивался с нецелыми числами, должен был возиться с числителями и знаменателями...
В России впервые о десятичных дробях было сказано в первом русском учебнике математики – «Арифметике» Магницкого.
Литература
Акимова С. Занимательная математика. – Санкт-Петербург, «Тригон», 1997, стр.264.
Глейзер Г.И. История математики в школе: 4-6 кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1981, стр.35.
Энциклопедия для детей. Т.11. Математика. – М.: Аванта+, 2002, с.178.
Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика / Сост. А.П. Савин и др. – М.: ООО «Изд. АСТ-ЛТД», 1997, стр.59.
История иррациональных чисел восходит к удивительному открытию пифагорейцев еще в VI в. до н.э. А началось все с простого, казалось бы, вопроса: каким числом выражается длина квадрата со стороной 1?
Диагональ разбивает квадрат на два одинаковых прямоугольных треугольника, в каждом из которых она выполняет роль гипотенузы. Поэтому, как следует из теоремы Пифагора, длина диагонали квадрата равна . Сразу же возникает соблазн достать микрокалькулятор и нажать клавишу извлечения квадратного корня. На табло мы увидим 1,4142135. Более совершенный калькулятор, выполняющий вычисления с высокой точностью, покажет 1,414213562373. А с помощью мощного современного компьютера можно вычислить с точностью до сотен, тысяч, миллионов знаков после запятой. Но даже самый высокопроизводительный компьютер, сколь бы долго он ни работал, никогда не сможет ни рассчитать все десятичные цифры числа , ни обнаружить в них какой-либо период.
И хотя у Пифагора и его учеников компьютера не было, обосновали этот факт именно они. Пифагорейцы доказали, что у диагонали квадрата и его стороны общей меры (т. е. такого отрезка, который целое число раз откладывался бы и на диагонали, и на стороне) не существует. Следовательно, отношение их длин – число – нельзя выразить отношением некоторых целых чисел m и n. А коль скоро это так, десятичное разложение числа не обнаруживает никакой регулярной закономерности.
Открыв новый математический объект, пифагорейцы пришли в полное замешательство. В основе всеобщей гармонии мира, считали они, должны лежать целые числа и их отношения. Никаких других чисел они не знали.
И вдруг эта гармония рушится – существуют величины, которые отношением целых чисел в принципе не являются!
ПО СЛЕДАМ ОТКРЫТИЯ ПИФАГОРЕЙЦЕВ
Как доказать, что число иррационально?
Предположим, существует рациональное число m/n, такое, что m/n =. Дробь m/n будем считать несократимой (ведь сократимую дробь всегда можно привести к несократимому виду). Возведя обе части равенства в квадрат, получим m2= 2n2. Отсюда заключаем, что m – число чётное, т.е. m = 2k. Поэтому и, следовательно, m2= 4k2, или 2k2= n2. Но тогда получается, что и n также число чётное, а этого быть не может, поскольку дробь m/n несократима. Возникает противоречие.
Остаётся сделать вывод, что наше предположение неверно и рационального числа m/n, равного , не существует.
– так называемые 
они писали 
. Дробь 
записывали в виде долей: 
. Производить арифметические действия над числами, всякий раз раскладывая их в сумму долей единицы, очень неудобно. Имеет ли пристрастие египтян к аликвотным дробям какое-либо объяснение? 
. Следовательно, каждому человеку нужно дать по половине, четверти и восьмушке хлеба. Теперь ясно, что надо 4 хлеба разрезать пополам, 2 хлеба на 4 части и только один хлеб – на 8 частей. И если нашему школьнику пришлось бы сделать 49 разрезов, то Ахмесу – всего 17, т.е. египетский способ почти в 3 раза экономичнее. 
. Сразу же возникает соблазн достать микрокалькулятор и нажать клавишу извлечения квадратного корня. На табло мы увидим 1,4142135. Более совершенный калькулятор, выполняющий вычисления с высокой точностью, покажет 1,414213562373. А с помощью мощного современного компьютера 
можно вычислить с точностью до сотен, тысяч, миллионов знаков после запятой. Но даже самый высокопроизводительный компьютер, сколь бы долго он ни работал, никогда не сможет ни рассчитать все десятичные цифры числа 
, ни обнаружить в них какой-либо период. 
