(Слайд 2) Представьте себе такую ситуацию: в школе четыре седьмых класса. В 7А учатся 15 девочек и 13 мальчиков, в 7Б – 12 девочек и 12 мальчиков, в 7В – 9 девочек и 18 мальчиков, в 7Г классе – 20 девочек и 10 мальчиков. Если нам нужно ответить на вопрос, сколько учеников в каждом из седьмых классов, то нам 4 раза придется осуществлять одну и ту же операцию сложения:
в 7А 15 + 13 = 28 учеников;
в 7Б 12 + 12 = 24 ученика;
в 7В 9 + 18 = 27 учеников;
в 7Г 20 + 10 = 30 учеников.
(Слайд 3) Используя математический язык, можно все эти четыре разные ситуации объединить: в классе учатся a девочек и b мальчиков, значит, всего учеников a + b. Эту запись a + b называют математической моделью данной реальной ситуации.
(Слайд 4) Алгебра в основном занимается тем, что описывает различные реальные ситуации на математическом языке в виде математических моделей, а затем имеет дело уже не с реальными ситуациями, а с этими моделями, используя разные правила, свойства, законы, выработанные в алгебре.
(Слайд 5) В следующей таблице приведены реальные ситуации. Вам необходимо записать их математические модели, считая, что a– число девочек в классе, b– число мальчиков в том же классе.
(Слайд 6) Заполняя эту таблицу, мы шли от реальной ситуации к её математической модели. Но надо уметь двигаться и в обратном направлении, т.е. по заданной математической модели описывать словами реальную ситуацию. Например, что означает (при тех же обозначениях, что и в таблице) такая математическая модель: a – 5 = b + 5? (Если из класса уйдут 5 девочек и придут 5 мальчиков, то девочек и мальчиков в классе станет поровну).
(Слайд 7) Вопрос ученикам: Зачем нужна математическая модель реальной ситуации? (Она даёт краткую и выразительную запись реальной ситуации). Математическая модель широко применяется при решении алгебраических задач.
(Слайд 8)
Задача. В классе девочек вдвое больше, чем мальчиков. Если из этого класса уйдут три девочки и придут три мальчика, то девочек будет на 4 больше, чем мальчиков. Сколько учеников в данном классе?
Решение. Пусть х – число мальчиков в классе, тогда 2х – число девочек. Если уйдут три девочки, то останется (2х – 3) девочек. Если придут три мальчика, то станет (х + 3) мальчиков. По условию девочек будет тогда на 4 больше, чем мальчиков; на математическом языке это записывается так: (2х – 3) – (х + 3) = 4.
Это уравнение – математическая модель задачи. Используя известные правила решения уравнений, последовательно получаем:
2х – 3 – х – 3 = 4 (раскрыли скобки);
х – 6 = 4 (привели подобные слагаемые);
х = 6 + 4;
х = 10.
Теперь мы можем ответить на вопрос задачи. В классе 10 мальчиков, а значит, 20 девочек (вы помните, их по условию было в 2 раза больше).
Ответ: всего в классе 30 учеников.
(Слайд 9) Обратим внимание на следующее обстоятельство: заметили ли вы, что в ходе решения было чёткое разделение рассуждений на три этапа?
На первом этапе, введя переменную х и переведя текст задачи на математический язык, мы составили математическую модель – в виде уравнения (2х – 3) – (х + 3) = 4.
На втором этапе, используя наши знания, мы это уравнение решили, точнее, довели до самого простого вида (х = 10). На этом этапе мы не думали ни про девочек, ни про мальчиков, а занимались «чистой» математикой, работали только с математической моделью.
На третьем этапе мы использовали полученное решение, чтобы ответить на вопрос задачи. На этом этапе мы снова вернулись к девочкам, мальчикам и интересующему нас классу.
(Слайд 10) Три этапа решения задачи.
Первый этап. Составление математической модели.
Второй этап. Работа с математической моделью.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Вот так обычно применяется математика к реальной действительности.
(Слайд 11) Многие ученики не любят, даже боятся решать текстовые задачи по математике.
Хочу приободрить таких учеников словами двух уважаемых людей.
Учёный Д. Пойя писал: «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!»
Всем известный литературный герой Шерлок Холмс, который отличался логическим умом, говорил: «Всякая задача кажется очень простой после того, как вам её растолкуют».
Смело беритесь за решения алгебраических задач. Если вы не смогли сами решить какую-то задачу, то внимательнее послушайте рассуждения учителя или одноклассника, и следующая задача уже будет вами решена. Самое главное, решайте задачи!
Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – М. : Мнемозина, 2013.
