|
Занимательные задачи являются одним из самых мощных инструментов развития человеческого интеллекта. (Иоханнес Леман)
Задачи на переливание – один из видов старинных логических задач. Они возникли много веков назад, но до сих пор вызывают интерес у любителей математики и их часто можно встретить в олимпиадных заданиях для 5–6-х классов. Суть этих задач сводится к следующему: с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости за наименьшее число переливаний.
В задачах на переливания требуется указать последовательность действий, при которой осуществляется требуемое переливание и выполнены все условия задачи. Если не сказано ничего другого, считается, что все сосуды без делений и нельзя переливать жидкости «на глаз». Чаще всего используются словесный способ решения (т.е. описание последовательности действий) и способ решения с помощью таблиц, где в первом столбце (или строке) указываются объемы данных сосудов, а в каждом следующем – результат очередного переливания.
Задача 1. Имеются два сосуда вместимостью 3 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 4 л воды?
Решение:
Начнём с конца. Как в результате можно получить 4 л? – Из 5-литрового сосуда отлить 1 л. Как это сделать? – Надо в 3-литровом сосуде иметь ровно 2 л. Как их получить? – Из 5-литрового сосуда отлить 3 л. Теперь запишем решение задачи в виде таблицы.
| Ходы |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| 5л |
5 |
2 |
2 |
0 |
5 |
4 |
| 3л |
0 |
3 |
0 |
2 |
2 |
3 |
Поиск решения можно было начать с действия 3 + 1, что привело бы к решению, записанному в следующей таблице.
| Ходы |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
| 5л |
0 |
3 |
3 |
5 |
0 |
1 |
1 |
4 |
| 3л |
3 |
0 |
3 |
1 |
1 |
0 |
3 |
0 |
Из чисел 3 и 5 можно составить выражения, имеющие значение 4: 5 – 3 + 5 – 3 = 4 и 3 + 3 – 5 + 3 = 4. Несложно убедиться, что полученные выражения соответствуют найденным выше решениям.
Задача 2. Имеются два сосуда вместимостью 8 л и 5 л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 7 л воды?
Решение:
Ход рассуждений таков: Как в результате получить 7 литров? – Нужно к 5 литрам долить 2 л. А где их взять? – Из 5-литрового сосуда отлить 3 л. А как их получить? В 8-литровый перелить из 5-литрового 5 литров, потом еще три. Решение задачи показано в таблице:
| Ходы |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
| 8л |
0 |
5 |
5 |
8 |
0 |
2 |
7 |
| 5л |
5 |
0 |
5 |
2 |
2 |
5 |
0 |
Задача 3. Имеются два сосуда вместимостью 7 л и 3 л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 5 л воды?
Решение:
| Ходы |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
| 7л |
0 |
3 |
3 |
6 |
6 |
7 |
0 |
2 |
2 |
5 |
| 3л |
3 |
0 |
3 |
0 |
3 |
2 |
2 |
0 |
3 |
0 |
Задача 4. Как, имея лишь два сосуда вместимостью 5 л и 7 л, налить из водопроводного крана 6 л воды?
Решение.
Решение задачи задается числовым выражением (7 – 5) + (7 – 5) + (7 – 5).
Задача 5. Имеются два типа песочных часов. Одни отмеряют 7 мин, а другие – 11 мин. Как с их помощью отмерить 15 мин, необходимых, чтобы сварить вкрутую яйцо?
Решение:
15 = (11 – 7) + 11. Нужно одновременно перевернуть часы, через 7 минут Гарри начинаем варить зелье. После 4 минут (песок в часах на 11 минут закончится) вновь перевернуть часы на 11 минут. Задача решена.
Задача 6. Имеются 6-литровая банка сока и две пустые банки: трёх- и четырёхлитровая. Как налить 1 литр сока в трёхлитровую банку?
Решение:
| Ходы |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
| 6л |
6 |
2 |
2 |
5 |
5 |
| 4л |
0 |
4 |
1 |
1 |
0 |
| 3л |
0 |
0 |
3 |
0 |
1 |
Задача 7. Летом Винни-Пух сделал запас меда на зиму и решил разделить его пополам, чтобы съесть половину до Нового Года, а другую половину - после Нового года. Весь мед находится в ведре, которое вмещает 6 литров, у него есть 2 пустые банки – 5-литровая и 1-литровая. Может ли он разделить мед так, как задумал?
Решение:
| Ходы |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
| 6л |
6 |
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
| 5л |
0 |
5 |
4 |
4 |
3 |
3 |
| 1л |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
Задача 8. Как из полного сосуда ёмкостью в 12 л отлить половину, пользуясь двумя пустыми сосудами ёмкостью в 8 л и 5 л?
Решение:
| Ходы |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| 12л |
12 |
4 |
4 |
9 |
9 |
1 |
1 |
| 8л |
0 |
8 |
3 |
3 |
0 |
8 |
6 |
| 5л |
0 |
0 |
5 |
0 |
3 |
3 |
5 |
Задача 9. В первый сосуд входит 8 л, и он наполнен водой. Имеются еще 2 пустых сосуда емкостью 5 л и 3 л. Как с помощью этих сосудов отмерить ровно 1 л?
Решение:
| Ходы |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| 8л |
8 |
3 |
3 |
6 |
1 |
1 |
4 |
| 5л |
0 |
5 |
2 |
2 |
5 |
4 |
4 |
| 3л |
0 |
0 |
3 |
0 |
2 |
4 |
0 |
Задача 10. Как набрать из реки 6 л воды, если имеется 2 ведра, ёмкостью в 9 л и 4 л?
Решение:
| Ходы |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
| 4л |
0 |
4 |
0 |
4 |
0 |
1 |
1 |
4 |
| 9л |
9 |
2 |
5 |
1 |
1 |
0 |
9 |
6 |
| река |
|
|
4 |
4 |
8 |
8 |
8 |
8 |
Задача 11. Имеются три бочонка кваса, вместимостью 6 вёдер, 3 ведра и 7 вёдер. В первом и третьем содержится соответственно 4 и 6 вёдер кваса. Требуется только тремя бочонками, разделить квас поровну.
Решение:
| Ходы |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
| 6 ведер |
4 |
1 |
1 |
6 |
5 |
5 |
| 3 ведра |
0 |
3 |
2 |
2 |
3 |
0 |
| 7 ведер |
6 |
6 |
7 |
2 |
2 |
5 |
Задача 12. Имеется стакан кофе и стакан молока. Ложку молока перелили в кофе, полученную смесь тщательно перемешали. Ложку смеси перелили обратно в молоко. Чего больше: молока в кофе или кофе в молоке?
Замечание: Если у вас нет идеи решения, то попробуйте решить задачу. Считая для простоты, что в стаканах было по 100 г фоке и молока, а в ложке 10 г жидкости. Полученный ответ позволит сделать предположение для общего случая, только это предположение еще надо обосновать.
|
