Основа хорошего понимания математики – умение считать, думать, рассуждать, находить удачные способы решения задач. Чтобы научиться правильно рассуждать, нужно решать задачи на смекалку. Одним из классов задач такого вида являются задачи на взвешивание.
I. ЗАДАЧИ НА СРАВНЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ВЕСОВ
ЗАДАЧА 1. На одной чашке весов лежат 6 одинаковых яблок и 3 одинаковые груши, на другой чашке – 3 таких же яблока и 5 таких же груш. Весы находятся в равновесии. Что легче: яблоко или груша? Решение: Представим, что мы сняли с каждой чаши весов поровну: по 3 яблока и 3 груши. Тогда 3 яблока уравновешивают 2 груши. Следовательно, одно яблоко легче одной груши. ЗАДАЧА 2. Груша и слива весят столько, сколько весят 2 яблока; 4 груши весят столько, сколько весят 5 яблок и 2 сливы. Что тяжелее: 7 яблок или 5 груш? Решение: 5 груш и 1 слива уравновешиваются 7 яблоками и 2 сливами. Снимем с каждой чаши весов по одной сливе. Тогда 5 груш уравновешиваются 7 яблоками и 1 сливой. Значит, 5 груш тяжелее 7 яблок.
ЗАДАЧА 3. Арбуз и лимон весят столько, сколько дыня. Два арбуза весят столько, сколько дыня и лимон вместе. Сколько надо лимонов, чтобы уравнять в весе дыню? Ответ: 3. ЗАДАЧА 4. 4 чашки и 1 кувшин весят столько, сколько весят 17 свинцовых шариков. 1 кувшин весит столько же, сколько 7 свинцовых шариков и 1 чашка. Сколько шариков уравновешивает кувшин?
Решение: По условию задачи имеем: 4 чашки + 1 кувшин = 17 шариков; 1 кувшин = 7 шариков + 1 чашка. На первые весы вместо 1 кувшина ставим 7 шариков + 1чашку, получим: 4 чашки + (7 шариков + 1 чашка) = 17 шариков; 5 чашек + 7 шариков = 17 шариков.
Снимем с каждой чашки по 7 шариков, получим: 5 чашек = 10 шариков, рассуждая дальше, получим, что 1 чашка уравновешивает 2 шарика, а значит,4 чашки уравновешивают 8 шариков.
А так как 4 чашки + 1 кувшин = 17 шариков, то 8 шариков + 1 кувшин = 17 шариков. Снимем по 8 шариков, получим, что 1 кувшин = 9 шариков. Ответ: 9 шариков.
II. ЗАДАЧИ НА ВЗВЕШИВАНИЯ НА ВЕСАХ С ГИРЯМИ
ЗАДАЧА 5. Кирпич весит 2 кг и ещё полкирпича. Сколько весит кирпич?
Решение: Пусть кирпич весит х кг, тогда по условию задачи один кирпич весит х = 2 + х/2; х – х/2 = 2; х/2 = 2, х = 4. Ответ: 4 кг.
ЗАДАЧА 6. На одной чашке весов лежит кусок мыла, а на другой три четверти такого куска и еще три четверти килограмма. Весы находятся в равновесии. Сколько весит кусок мыла?
Решение: Разделим кусок мыла на 4 равные части, тогда 4 равные части куска мыла = 3 такие же части мыла + 3/4 кг. Снимем с каждой чашки по 3 части, получим: 1 часть = 3/4 кг, значит, целый кусок весит 3 кг. Ответ: 3 кг.
ЗАДАЧА 7. У хозяйки есть рычажные весы и гиря в 100 г. Как за 3 взвешивания она может отвесить 700 г крупы?
Решение: Здесь придется использовать взвешенную крупу в качестве гири. ЗАДАЧА 8. На плохо отрегулированных весах бабушка взвесила два пакета сахарного песка – получилось 500 г и 300 г. Когда же она взвесила на тех же весах оба пакета вместе, то получилось 900 г. Определите по этим данным вес каждого пакета.
Решение: Весы «уменьшают» вес каждого взвешиваемого предмета на 100 г. Пакеты весят 600 г и 400 г.
ЗАДАЧА 9. Докажите, что любой груз в целое число граммов, меньше 7, можно взвесить, имея гирьки в 3 г и 5 г.
ЗАДАЧА 10. а) Какие 4 гири нужно взять, чтобы с их помощью можно было взвесить любой груз в целое число граммов от 1 до 15 при условии класть гири только на одну чашу весов? б) Какие 4 гири нужно взять, чтобы с их помощью можно было взвесить любой груз в целое число граммов от 1 до 40? Гири разрешается класть на обе чаши весов. Ответ: а) 1, 2, 4, 8 г; б) 1, 3, 9, 27 г.
III. ЗАДАЧИ НА ВЗВЕШИВАНИЯ НА ВЕСАХ БЕЗ ГИРЬ
ЗАДАЧА 11. Из трёх одинаковых с виду монет одна фальшивая, но неизвестно, она тяжелее или легче остальных. Как определить фальшивую монету, сделав не более двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?
Решение: На чашки весов надо положить по одной монете, а третью монету отложить в сторону. При взвешивании получиться два результата – монеты на весах одинакового веса (рис. а) и одна монета на весах тяжелее (рис. б). Если монеты одинакового веса, то фальшивой является третья отложенная монета. Во втором случае фальшивой является более легкая монета. ЗАДАЧА 12. Буратино имеет четыре одинаковых по виду монеты, одна из которых не золотая, а фальшивая и легче других. Как Буратино определить фальшивую монету? Какое минимальное число взвешиваний ему потребуется?
Решение: Разделим монеты на 2 равных кучки – по 2 монеты. Положим на чаши весов. В более легкой кучке находится фальшивая монета. Теперь кладем на чаши весов по 1 монете из этой кучки – фальшивкой является более легкая. Буратино потребуется два взвешивания.
ЗАДАЧА 13. Имеются чашечные весы без гирь и 5 одинаковых по виду монет, одна из них фальшивая (легче других). За какое минимальное число взвешиваний можно найти фальшивую монету?
Решение: Кладем на каждую чашу весов по 2 монеты. Если вес одинаковый, то оставшаяся монета фальшивая. Если же одна группа из двух монет легче другой, значит, там фальшивая монета. Оставляем более легкую группу из двух монет и кладем на чаши весов по 1 монете – фальшивкой является более легкая. Ответ: за 2 взвешивания.
ЗАДАЧА 14. Имеются 8 с виду одинаковых монет. Одна из них фальшивая и известно, что она легче настоящей. Как с помощью всего лишь двух взвешиваний найти фальшивую монету? В вашем распоряжении только лабораторные весы, которые показывают только больше-меньше. Решение: Кладем на каждую чашу весов по 3 монеты. Если вес одинаковый, то взвешиваем оставшиеся 2 монеты (по одной на каждую чашу весов) и выявляем фальшивую (более легкую). Если же одна группа из трех монет легче другой, значит, там фальшивая монета. Оставляем более легкую группу из трех монет и кладем на весы по одной монете и кладем на весы по одной монете и действуем по предыдущему алгоритму: если вес одинаков, значит, фальшива третья, а если нет, то та, которая легче.
ЗАДАЧА 15. Из девяти монет одна фальшивая – она легче остальных. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?
Решение: Разделим 9 монет на 3 равных кучки. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она - в третьей кучке). Остается из трех монет определить более легкую: кладем на чаши весов по 1 монете - фальшивкой является более легкая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета.
ЗАДАЧА 16. Имеется 10 монет. Одна из них фальшивая и легче настоящей монеты. Как, с помощью чашечных весов без гирь, определить какая из монет фальшивая? Решение: Разделим 10 монет на 2 равных кучки – по 5 монет. Положим на чаши весов. Определим, в какой из этих кучек находится фальшивая монета. Теперь эту кучку делим на 3 кучки – в двух из них по две монеты, в третьей одна монета. Взвешиваем кучки, в которых по две монеты. Если весы покажут равенство, то фальшивка в третьей кучке. Если покажут неравенство, то фальшивая монета в кучке, которая легче. Теперь кладем на чаши весов по 1 монете из этой кучки – фальшивкой является более легкая. Задача решена.
ЗАДАЧА 17. Из 27 монет одна фальшивая – она легче остальных. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах без гирь можно определить фальшивую монету?
Решение: Разделим монеты на 3 кучки по 9 монет. Положим на чаши весов первую и вторую кучки; по результату этого взвешивания мы точно узнаем, в какой из кучек находится фальшивка (если весы покажут равенство, то она - в третьей кучке). Теперь, аналогично, разделим выбранную кучку на три части по три монеты, положим на весы две из этих частей и определим, в какой из частей находится фальшивая монета. Наконец, остается из трех монет определить более тяжелую: кладем на чаши весов по 1 монете - фальшивкой является более тяжелая; если же на весах равенство, то фальшивой является третья монета из части. Задача решена.
ВНИМАНИЕ! В следующих задачах неизвестно фальшивая монета легче или тяжелее настоящей. ЗАДАЧА 18. Из 3 одинаковых с виду монет одна фальшивая, но неизвестно, она тяжелее или легче остальных. Как определить фальшивую монету, сделав не более двух взвешиваний на чашечных весах без гирь?
ЗАДАЧА 19. У Буратино среди 15 одинаковых с виду монет одна фальшивая. Неизвестно, она тяжелее или легче остальных. Как узнать, фальшивая монета тяжелее или легче настоящих, сделав не более двух взвешиваний на чашечных весах без гирь? Решение: Буратино может разделить свои монеты на три кучки по 7, 4, 4, или по 5, 5, 5, или по 3, 6, 6, или по 1, 7, 7 монет. При первом взвешивании он положит на весы две кучки монет одинаковой величины. Если при этом весы оказались в равновесии, значит, все монеты на весах настоящие, а бракованная монета в оставшейся кучке. Тогда при втором взвешивании на одну чашку весов Буратино положит кучку с бракованной монетой, а на вторую – столько настоящих монет, сколько всего монет он положил на первую чашку, и тогда он сразу определит, легче фальшивая монета, чем настоящие, или тяжелее. Если же при первом взвешивании весы оказались не в равновесии, значит, все монеты в оставшейся кучке настоящие. Тогда Буратино уберет с весов легкую кучку, а монеты из тяжелой кучки разделит на две равные части и положит на весы (если в кучке было 5 или 7 монет, предварительно добавит к ним одну настоящую монету). Если при втором взвешивании весы оказались в равновесии, значит, фальшивая монета легче настоящих, а если нет, то тяжелее. Задача решена.
ЗАДАЧА 20. Из 60 одинаковых по виду монет одна отличается от других по массе. Двумя взвешиваниями определить, легче она или тяжелее остальных.
Решение: Возможны 3 случая: 2 случай: 1-я группа монет легче 2-й группы. Тогда 3-я гр. – настоящая. 1) Разделим детали на 3 группы по 20 штук. Взвесим детали 1-й и 3-й группы. Если весы уравновесятся, то фальшивая монета – во 2-й группе, и она более тяжёлая. 1 случай: их вес одинаков. Тогда фальшивая монета – в 3-й группе. 2) Взвесим монеты 1-й и 2-й группы. Взвесим монеты 1-й и 3-й группы. Если 3-я группа будет легче, значит и фальшивая монета более лёгкая; если 3-я группа будет тяжелее, значит и фальшивая монета более тяжёлая. Если монеты 1-й группы весят меньше монет 3-й группы, то фальшивая монета – в 1-й группе, и она более лёгкая. 3-й случай опишите самостоятельно.
ЗАДАЧА 21. Среди 101 одинаковых по виду монет одна фальшивая, отличающаяся по весу. Как с помощью чашечных весов без гирь за два взвешивания определить, легче или тяжелее фальшивая монета? Находить фальшивую монету не требуется. Решение: Взвешиваем 50 и 50 монет: два случая. 1 случай. Равенство. Берем оставшуюся монету и ставим ее в левую кучку вместо одной из имеющихся там: а) Левая кучка тяжелее => фальшивая монета тяжелее; б) Левая кучка легче => фальшивая монета легче. 2 случай. Неравенство. Берем более тяжелую кучку и разбиваем ее на две кучки по 25 монет: а) Вес кучек одинаковый => фальшивая монета легче; б) Вес кучек неодинаковый => фальшивая монета тяжелее.
ВНИМАНИЕ! В следующих задачах вид весов изменился!
ЗАДАЧА 22. Имеются три мешка с монетами, в двух из них настоящие монеты весом 10 г каждая, а в одном фальшивые монеты весом 9 г каждая. Есть весы, показывающие общий вес положенных на них монет. Как с помощью одного взвешивания найти, в каком мешке фальшивые монеты, если из любого мешка можно брать любое число монет для взвешивания? Замечание: Взвешивать одну монету из какого-либо мешка или две монеты из двух разных мешков не стоит, так как может понадобиться еще одно взвешивание (выясните, в каком случае). Взвешивать три монеты – по одной монете из каждого мешка – незачем, их вес известен: 10 + 10 + 9 + = 29 (г.) Придумайте еще какой-нибудь способ взвешивания, чтобы решить задачу.
Решение: Возьмем из первого мешка 1 монету, из второго – 2 монеты, из третьего – 3 монеты. Возможны три случая: 1) фальшивые монеты в первом мешке, тогда вес взятых монет: 1 • 9 + 2 • 10 + 3 • 10 = 59 (г); 2) фальшивые монеты во втором мешке, тогда вес взятых монет: 1 • 10 + 2 • 9 + 3 • 10 = 58 (г); 3) фальшивые монеты в третьем мешке, тогда вес взятых монет: 1 • 10 + 2 • 10 + 3 • 9 = 57 (г).
Заметим, что в первом, втором и третьем случаях вес взятых монет на 1, 2, 3 г отличается от веса такого же количества настоящих монет, т.е. от (1 + 2 + 3) • 10 = 60 (г). Это означает, что, взвесив 6 монет и получив результат 59, 58 или 57 г, мы будем знать, сколько граммов не хватает до 60 г, – это число укажет нам номер мешка с фальшивыми монетами.
ЗАДАЧА 23. Имеются 10 мешков с монетами, в девяти из них настоящие монеты весом 10 г каждая, а в одном фальшивые монеты весом 9 г каждая. Есть весы, показывающие общий вес положенных на них монет. Как с помощью одного взвешивания найти, в каком мешке фальшивые монеты?
ЗАДАЧА 24. Три груши и три сливы весят столько, сколько весят 6 яблок. 4 груши весят столько, сколько весят 5 яблок и 2 сливы. Что тяжелее 7 яблок или 5 груш? Решение:здесь (в формате pdf).
ЗАДАЧА 25. Токарь выточил 27 деталей, среди них одна оказалась нестандартная. По виду ее отличить от остальных невозможно. За какое наименьшее число взвешиваний на чашечных весах можно определить бракованную деталь, если известно, что она тяжелее, чем стандартная. Решение:здесь.
