Меняем монеты. Задачи на смекалку. Задание №20 ЕГЭ, база
14:33
Меняем монеты
Задачи на смекалку
Задание №20 ЕГЭ, база Презентация
Задание 20 базового уровня ЕГЭ – это задачи на смекалку. Для того чтобы правильно решать подобные задачи, следует проанализировать условие, выбрать соответствующие законы математики и оптимальный путь решения. Универсального способа решения всех видов «Задач на смекалку» нет, каждая из них решается своим способом.
Предлагаем вам рассмотреть один тип заданий 20, а именно задачи про обмен монет. И даже этот тип задач можно решить разными способами. .
Задача 1. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
• за 2 золотые монеты получить 3 серебряные и одну медную;
• за 5 серебряных монет получить 3 золотые и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 100 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая? Решение: 1 способ (логический):
Из условия мы имеем равенства (сокращения: зм – золотые монеты, см – серебряные монеты, мм – медные монеты)
2 зм = 3 см + 1 мм,
5 см = 3 зм + 1 мм.
Так как у Николая были только серебряные монеты, а после обмена остались серебряные и появились медные, то все золотые, которые появились в ходе обмена, были опять обменены. Из второго равенства мы видим, что за десять серебряных монет он получал 6 золотых и 2 медных.
10 см = 6 зм + 2 мм.
Но из первого равенства находим, что за 6 золотых монет он получает 9 серебряных и 3 медных.
6 зм = 9 см + 3 мм.
10 см = 6 зм + 2 мм = (9 см + 3 мм) + 2 мм = 9 см + 5 мм
1 см = 5 мм
В итоге этих обменов у него вместо десяти серебряных монет осталось 9, но появилось 5 медных. То есть одна серебряная монета равна 5 медным. Так как у него появилось 100 медных монет, то он отдал за них 20 серебряных. Таким образом, количество серебряных монет уменьшилось на 20 штук.
Ответ: 20.
2 способ (алгебраический):
Пусть х – номинал золотой монеты, у – номинал серебряной монеты, z – номинал медной монеты. Составим систему уравнений:
2х = 3у + z,
5у = 3х + z.
2х – 3у = z, умножим на 3
– 3х + 5у = z, умножим на 2
6х – 9у = 3z,
– 6х + 10у = 2z.
у = 5z.
То есть одна за одну серебряную монету дадут 5 медных. Так как у Николая появилось 100 медных монет, то он отдал за них 100 : 5 = 20 серебряных. Таким образом, количество серебряных монет уменьшилось на 20 штук.
Ответ: 20.
3 способ (алгебраический):
Пусть Николай сделал сначала х операций второго типа, а затем у операций первого типа.
5х см = 3х зм + 1х мм, 2у зм = 3у см + 1у мм.
Так как количество золотых монет не изменилось, то 3х – 2у = 0.
Так как медных монет стало 100, то х + у = 100.
Решая систему их двух последних уравнений, получаем х = 40, у = 60.
Тогда серебряных монет было 5х = 5 • 40 = 200, серебряных монет стало 3у = 3 • 60 = 180. Значит, количество серебряных монет уменьшилось на 20. Ответ: 20.
Задача 2. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
• за 4 золотых монеты получить 5 серебряных и одну медную;
• за 8 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 45 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая? Решение:
Поскольку золотых монет изначально не было, и потом тоже не осталось, то их количество, полученное в ходе операций должно быть кратно 5 и 4. При каждой операции обмена серебряных монет он получал 5 золотых, а потом каждые 4 золотые монеты менял на серебряные и медные.
4з = 5с + 1м, умножим на 5, получим 20з=25с+5м.
8с = 5з + 1м, умножим на 4, получим 32с=20з +4м.
Заменим во втором 20з на 25с+5м, получим 32с=25с+9м или 7с=9м.
Так как медных монет стало 45, то 45м= 5 • 9м= 5 • 7с = 35с. То есть 35 серебряных монет было обменено на 45 медных. Ответ: 35.
Потренируйтесь в решении подобных задач Задача 3. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
• за 4 золотых монеты получить 5 серебряных и одну медную;
• за 7 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 90 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая? Ответ: 30.
Задача 4. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
• за 5 золотых монет получить 7 серебряных и одну медную;
• за 10 серебряных монет получить 7 золотых и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 60 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая? Ответ: 5.
Задача 5. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
• за 3 золотые монеты получить 4 серебряные и одну медную;
• за 6 серебряных монет получить 4 золотые и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 35 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая? Ответ: 10.
Задача 6.В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
• за 3 золотые монеты получить 4 серебряных и одну медную;
• за 7 серебряных монет получить 4 золотые и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 42 медные. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая? Ответ: 30.
Решение задачи №4 вторым способом:
Пусть х – номинал золотой монеты, у – номинал серебряной монеты, z – номинал медной монеты. Составим систему уравнений:
5х = 7у + z,
10у = 7х + z.
5х – 7у = z, умножим на 7
– 7х + 10у = z, умножим на 5
35х – 49у = 7z,
– 35х + 50у = 5z.
у = 12z.
То есть одна за одну серебряную монету дадут 12 медных. Так как у Николая появилось 60 медных монет, то он отдал за них 60 : 12 = 5 серебряных. Таким образом, количество серебряных монет уменьшилось на 5 штук. Ответ: 5.
