Когда и где происходила эта история – неизвестно. Возможно, что и вовсе не происходила; даже, скорее всего, что так. Но быль это или небылица, история достаточно занятна, чтобы её послушать.
1) Богач – миллионер возвратился из отлучки необычайно радостный: у него была в дороге счастливая встреча, сулившая большие выгоды.
«Бывают же такие удачи, – рассказывал он домашним. – Неспроста, видно, говорят, что деньга на деньгу набегает. Вот и на мою деньгу денежка бежит. И как неожиданно! Повстречался мне в пути незнакомец, из себя не видный. Мне бы и разговаривать с ним не пристало, да он сам начал, как поведал, что у меня достаток есть. И такое к концу разговора предложил выгодное дельце, что у меня дух захватило.
— Сделаем, – говорит, – с тобой такой уговор. Я буду целый месяц приносить тебе ежедневно по сотне тысяч рублей. Не даром, разумеется, но плата пустяшная. В первый день я должен по уговору заплатить – смешно вымолвить – всего только копейку.
Я ушам не верил:
— Одну копейку? – переспрашиваю.
— Одну копейку, – говорит. — За вторую сотню тысяч заплатишь 2 копейки.
— Ну, – не терпится мне. — А дальше?
— А дальше: за третью сотню тысяч 4 копейки, за четвёртую 8, за пятую – 16. И так целый месяц, каждый день вдвое против предыдущего.
— И потом что? – спрашиваю.
— Всё, – говорит, – больше ничего не потребую. Только крепко держать уговор: каждое утро буду носить по сотне тысяч рублей, а ты плати, что оговорено. Раньше месяца кончать не смей.
Сотни тысяч рублей за копейки отдаёт! Если деньги не фальшивые, то не в полном уме человек. Однако же дело выгодное, упускать не надо.
— Ладно, – говорю. – Неси деньги. Я-то свои уплачу аккуратно. Сам, смотри, не обмани: правильные деньги приноси.
— Будь спокоен, – говорит, – завтра с утра жди.
Однако только боюсь: придёт ли? Как бы не спохватился, что слишком невыгодное дело затеял! Ну, до завтра не долго ждать».
2) Прошёл день. Рано утром постучал богачу в окошко тот самый незнакомец, которого он встретил в дороге.
— Деньги готовь, – говорит. — Я свои принёс.
И, действительно, войдя в комнату, странный человек стал выкладывать деньги – настоящие, не фальшивые. Отсчитал ровно сто тысяч и говорит:
— Вот моё по уговору. Твой черёд платить.
Богач положил на стол медную копейку и с опаской дожидался, возьмёт гость монету или раздумает, деньги свои назад потребует. Посетитель осмотрел копейку, взвесил в руке и спрятал в суму.
— Завтра в такое же время жди. Да не забудь, две копейки припаси, – сказал он и ушёл.
Богач не верил удаче: сто тысяч с неба свалилось! Снова пересчитал деньги, удостоверился хорошенько, что не фальшивые: всё правильно. Запрятал деньги подальше и стал ждать завтрашней уплаты. Ночью взяло его сомнение: не разбойник ли простаком прикинулся, хочет поглядеть, куда деньги прячут, да потом и нагрянуть с шайкой лихих людей? Запер богач двери покрепче, с вечера в окно поглядывал, прислушивался, долго заснуть не мог. На утро снова стук в окно: незнакомец деньги принёс. Отсчитал сто тысяч, получил свои две копейки, спрятал монету в суму и ушёл, бросив на прощанье:
— К завтрашнему четыре копейки, смотри, приготовь.
Снова радуется богач: вторая сотня тысяч даром досталась. А гость на грабителя не похож: по сторонам не глядит, не высматривает, свои только копейки требует. Чудак! Побольше бы таких на свете, умным людям хорошо бы жилось...
Явился незнакомец и на третий день – третья сотня тысяч перешла к богачу за 4 копейки. Ещё день, и таким же манером явилась четвёртая сотня тысяч – за 8 копеек. Пришла и пятая сотня тысяч – за 16 копеек. Потом шестая за 32 копейки.
Спустя семь дней от начала сделки получил наш богач уже семьсот тысяч рублей, а уплатил пустяки: 1 коп. + 2 коп. + 4 коп. + 8 коп. + 16 коп. + 32 коп. + 64 коп. = 1 р. 27 коп.
Понравилось это алчному миллионеру, и он уже стал сожалеть, что договорился всего на один только месяц. Больше трёх миллионов получить не удастся. Склонить разве чудака продлить срок ещё хоть на полмесяца? Боязно: как бы не сообразил, что зря деньги отдаёт... А незнакомец аккуратно являлся каждое утро со своей сотней тысяч.
На 8-й день получил он 1 р. 28 коп.,
на 9-й – 2 р. 56 коп.,
на 10-й – 5 р. 12 коп.,
на 11-й – 10 р. 24 коп.,
на 12-й – 20 р. 48 коп.,
на 13-й – 40 р. 96 коп.,
на 14-й – 81 р.92 коп.
Богач охотно платил эти деньги: ведь он получил уже 1 миллион 400 тысяч рублей, а отдал незнакомцу всего около полутораста рублей.
Недолго, однако, длилась радость богача: скоро стал он соображать, что странный гость не промах и что сделка с ним вовсе не так выгодна, как казалось сначала. Спустя 15 дней приходилось за очередные сотни тысяч платить уже не копейки, а сотни рублей, и плата страшно быстро нарастала. В самом деле, богач уплатил во второй половине месяца:
за 15-ю сотню тысяч ... 163 р. 84 коп.,
за 16-ю ... 327 р. 68 коп.,
за 17-ю ... 655 р. 36 коп.,
за 18-ю ... 1310р. 72 коп.,
за 19-ю ... 2621 р. 44 коп.
Впрочем, богач считал себя далеко ещё не в убытке: хотя и уплатил больше пяти тысяч, зато получил 1800 тысяч.
Прибыль, однако, с каждым днём уменьшалась, притом всё быстрее и быстрее. Вот дальнейшие платежи:
за 20-ю сотню тысяч ... 5.242 р. 88 коп.,
21 ... 10.485р. 76коп.,
22 ... 20.971 р. 52коп.,
23 ... 41.943 р. 04коп.,
24 ... 83.886р. 08коп.,
25 ... 167.772р. 16коп.,
26 ... 335.544р. 32коп.,
27 ... 671.088р. 64коп.
Платить приходилось уже больше, чем получать. Тут бы и остановиться, да нельзя ломать договора. Дальше пошло ещё хуже. Слишком поздно убедился миллионер, что незнакомец жестоко перехитрил его и получит куда больше денег, чем сам уплатит...
Начиная с 28-го дня, богач должен был уже платить миллионы. А последние два дня его вконец разорили. Вот эти огромные платежи:
за 28-ю сотню тысяч ... 1.342.177 р. 28 коп.,
29 ... 2.684.354р. 56коп.,
30 ... 5.368.709р. 12коп.
Когда гость ушёл в последний раз, миллионер подсчитал, во что обошлись ему столь дешёвые на первый взгляд три миллиона рублей. Оказалось, что уплачено было незнакомцу
10.737.418 р. 23 коп.
Без малого 11 миллионов!.. А ведь началось с одной копейки. Незнакомец мог бы приносить даже по три сотни тысяч и всё-таки не прогадал бы.
3) Прежде чем закончить эту историю, покажу, каким способом можно ускорить подсчёт убытков миллионера; другими словами – как скорее всего выполнить сложнее ряда чисел:
1+ 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + и т.д.
Нетрудно подметить следующую особенность этих чисел:
Мы видим, что каждое число этого ряда равно всем предыдущим, вместе взятым, плюс одна единица. Поэтому, когда нужно сложить все числа такого ряда, например от 1 до 32.768, то мы прибавляем лишь к последнему числу (32.768) сумму всех предыдущих, иначе сказать - прибавляем то же последнее число без единицы (32.768 – 1). Получаем 65.535.
Этим способом можно подсчитать убытки алчного миллионера очень быстро, как только узнаем, сколько уплатил он в последний раз. Его последний платёж был 5.368.709 р. 12 коп. По¬этому, сложив 5.368.709 р. 12 коп. и 5.368.709 р.11 коп., получаем сразу искомый результат:
10.737.418 р. 23 коп.
Литература
Перельман Я.И. Живая математика. – М.: Наука, 1978 г., с.7.
