Требуется расшифровать запись арифметического равенства, в котором цифры заменены буквами, причем разные цифры заменены разными буквами, одинаковые - одинаковыми. Предполагается, что исходное равенство верно и записано по обычным правилам арифметики. В частности, в записи числа первая слева цифра не является цифрой 0; используется десятичная система счисления.
№7. Молоко, [1, c.135, с.227]: КОРОВА+ТРАВА=МОЛОКО а) Докажите, что у ребуса нет ни одной расшифровки.
б) В порядке исключения пусть буквами А и Т зашифрована одна и та же цифра. Расшифруйте запись.
+
К
О
Р
О
В
А
Т
Р
А
В
А
М
О
Л
О
К
О
Ответ. 1)
+
1
8
6
8
5
9
9
6
9
5
9
2
8
3
8
1
8
2)
+
3
8
5
8
6
9
9
5
9
6
9
4
8
1
8
3
8
3)
+
3
8
7
8
6
9
9
7
9
6
9
4
8
5
8
3
8
№8. Удача, [1, c.135, с.227]: ТРУД+ВОЛЯ=УДАЧА Дополнительное условие: числа ТР и ВО делятся на 13.
+
Т
Р
У
Д
В
О
Л
Я
У
Д
А
Ч
А
Ответ.
Заменять буквы цифрами можно двумя способами: ТРУД = 7814, ВОЛЯ = 6509, УДАЧА = 14 323 или ТРУД = 6514, ВОЛЯ = 7809, УДАЧА = 14 323. Ответы отличаются только тем, что числа Т к В, Р и число, обозначенное буквой О, одновременно поменялись местами. С самого начала можно было предсказать, что при такой замене расшифровка останется правильной (почему?). Указание. Ясно, что У = 1, а Д не равно 0 (почему?). Значит, ТР + ВО не меньше 119. Но ТР и ВО делятся на 13, значит, они среди чисел 26, 39, 52, 65, 78 (почему здесь нет 13 и 91?). Остается проверить две комбинации: ТР + ВО = 78 + 52 и ТР + ВО= = 78 + 65 ... . Любящим числа. Попробуйте найти все способы расшифровки, а не только те, в которых числа ТР и г ВО делятся на 13. Подсказка — всего 16 ответов.
№9. Реши, если силен, [1, c.135, с.228]: РЕШИ+ЕСЛИ=СИЛЕН
+
Р
Е
Ш
И
Е
С
Л
И
С
И
Л
Е
Н
Ответ. 1)
+
5
7
8
2
7
1
9
2
1
2
9
7
4
2)
+
9
3
8
2
3
1
5
2
1
2
5
3
4
3)
+
9
6
7
5
6
1
8
5
1
5
8
6
0
№10. Класс, [1, c.135, с.228]: СТОЛ+СТУЛ=КЛАСС
+
С
Т
О
Л
С
Т
У
Л
К
Л
А
С
С
Решение.
1. Сумма двух четырехзначных чисел не превосходит 19 998. Нуль в начале числа не пишется Поэтому К = 1. 2. Поскольку 4999 + 4999 меньше 10 000, то С не меньше 5. Запись столбца единиц показывает, что С — четная цифра. Поэтому С = 6 или С = 8. 3. Рассмотрим сначала случай С = 6. Поскольку запись столба единиц показывает, что 2Л = С или 2Л = 10 + С, то Л = 3 или Л = 8. 4. Случай С = 6, Л = 8 невозможен, поскольку 6999 + 6999 = 13 998 меньше 18 000 =- 10 000К + 1000Л. 5. Рассмотрим случай С = 6, Л = 3. Заменим в равенстве буквы К, С и Л соответствующими цифрами:
+
6
Т
«О»
3
6
Т
У
3
1
3
А
6
6
Нам осталось расшифровать равенство
+
Т
«О»
Т
У
1
А
6
(*)
при условии, что цифры, зашифрованные буквами Т, «О», У, А, не содержатся среди цифр 1, 3, 6 (соответствующих буквам К, Л, С). 6. Возможны два случая. «О» + У = 6 и «О» + У = 16. Рассмотрим сначала первый из них. Тогда буквой «О» зашифрована цифра, не превосходящая 6. Значения 0, 1, 3, 5, 6 отпадают, поскольку разные буквы обозначают разные цифры. Действительно, если «О» = 0, то У = 6 — 0 = С; если «О» = 1, то «О» = К; если «О» = 3, то У = 6 — 3 = «О»; если «О» = 5, то У = 6 — 5 = К; если «0» = 6, то «О» = С. Следовательно, «О» = 2 или «О» = 4 Тогда У = 4 или У = 2 соответственно. 7. В случае «О» + У = 6 в следующий столбец ничего не переносится, поэтому T + T = 10 + А, причем цифры, зашифрованные буквами T и А, не содержатся среди цифр 1, 2, 3, 4, 6. Итак, для T и А возможны значения 0, 5, 7, 8, 9. Подставим вместо T каждое из этих значений. Если T = 0, то А = — 10. Если T = 5, то А = 0. Если T = 7, то А = 4. Если T = 8, то А = 6. Если T = 9, то А = 8. Мы видим, что А попадает в множество допустимых значений только тогда, когда Т = 5 или Т = 9 Итак, либо Т = 5, А = 0, либо T = 9, А = 8. 8. Мы установили, что в случае «О» + У = 6 либо «О» = 2, У = 4, либо «О» = 4, У = 2; одновременно либо А = 0, T = 5, либо А = 8, T = 9. Комбинируя каждую возможность для «О» и У с каждой возможностью для А и Т, получаем четыре расшифровки равенства (*): 52 + 54 = 106; 54 + 52 = 106; 92 + 94 = 186, 94 + 92 = 186. Следовательно, исходную запись можно расшифровать следующими четырьмя способами:
1)
+
6
5
2
3
6
5
4
3
1
3
0
6
6
2)
+
6
5
4
3
6
5
2
3
1
3
0
6
6
3)
+
6
9
2
3
6
9
4
3
1
3
8
6
6
4)
+
6
9
4
3
6
9
2
3
1
3
8
6
6
В случае С = 6, Л = 3, «О» + У = 6 других способов расшифровки, как мы показали, не существует Осталось рассмотреть случай С = 6, Л = 3, «О» + У = 16 и случай С = 8. 9. Если «О» + У = 16, то максимальная из цифр, зашифрованных буквами «О» и У, равна 9. Действительно, если бы максимальная цифра не превосходила бы 7, то сумма «О» + У была бы не больше 14. Если бы максимальная цифра равнялась 8, то вторая цифра также равнялась бы 16 — 8 = 8, что невозможно. Если же максимальная цифра равняется 9, то вторая равна 16 — 9 = 7. Значит, «О» = 7, У = 9 либо «О» = 9, У = 7. 10. Если «О» + У = 16, то в следующий столбец переносится единица. Следовательно, Т + T + 1 = 10 + А, причем для А и Т запрещены значения 1, 3, 6, 7, 9. Поскольку А неотрицательно, то 2Т не меньше 9, и цифра Т может принимать значения 5 и 8. Тогда А = 1 = К и А = 7 = «О» или А = 7 = У соответственно. Следовательно, нет ни одной расшифровка, в которой «О» + У = = 16. 11. Осталось проверить случай С = 8. Сложение в столбце единиц исходного равенства показывает, что в этом случае 2Л = 8, Л = 4 или 2Л = 18, Л = 9 Однако 8000 + 8000 больше 14 999, поэтому случай Л = 4 не дает расшифровки. Итак, если С = 8, то Л = 9. Однако 8999 + 8999 меньше 19 000, и случай Л = 9 также невозможен. 12. Все случаи рассмотрены, все ответы найдены (их оказалось четыре), доказано, что других расшифровок нет. Мы видим, что для полного решения необходимо провести достаточно длинные рассуждения.
Решение является правильным, если в нем разобраны все возможные случаи. Распространенная ошибка школьников состоит в том, что исследуется только одна ветвь графа логических возможностей, ведущая к некоторой расшифровке. 13. Четыре расшифровки разбиваются на две пары, в каждой из которых фиксированы значения всех букв, кроме «О» и У. При взгляде на ребус можно было сразу отметить, что буквы «О» и У входят только в столбец десятков в слагаемых и, следовательно, из одной расшифровки можно получить другую, поменяв местами цифры, соответствующие буквам «О» и У.
№11. Коля и Оля, [1, c.135, с.228]: КО+ЛЯ=ОЛ-Я а) Расшифруйте при дополнительном условии: К + О + Л + Я = 21.
б) Расшифруйте без этого дополнительного условия (более 10 ответов).
КО + ЛЯ = ОЛ – Я
Решение.
Нуль впереди числа не пишется, поэтому буквы К, Л и О заменять нулем нельзя. Вспомнив, что запись АВ означает 10А + В, легко получим равенство 2(5К + Я) = 9(«О» — Л), в котором буква О взята в кавычки, чтобы невзначай не смешать с похожим на нее по написанию нулем. Левая часть делится иа 2, поэтому («О» — Л) тоже делится на 2 (ведь 9 на 2 не делится!). Все буквы различны, поэтому («О» — Л) может быть равно 2, 4, 6, 8 (но не 0). Тогда (5К + Я) равно соответственно 9, 18, 27, 36. Если 5К + Я = 9, то К = 1, Я = 4. Поскольку разные буквы должны быть заменены разными цифрами, то для «О» и Л остаются четыре возможности: «О» = 5, 7, 8, 9 и соответственно Л = 3, 5, 6, 7. Разобрав остальные три случая, получим одиннадцать способов расшифровки КОЛЯ = 1534, 1754, 1864, 1974, 2518, 2738, 2958, 4827, 4937, 5712, 5932. Из них только для двух: КОЛЯ = 1974 и КОЛЯ = 4827 сумма К + О + Л + Я равна 21.
