КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА и арифметические операции над ними. Алгебра, 10 класс
17:26
Комплексные числа и арифметические операции над ними
Алгебра, 10 класс
Вы уже знакомы с натуральными, целыми, рациональными, иррациональными числами. Все вместе они образуют множество действительных (вещественных) чисел.
Действительные числа
N ϵ Z ϵ Q ϵ R
N – множество натуральных чисел
Z – множество целых чисел
Q – множество рациональных чисел
R – множество действительных (вещественных) чисел
Оказывается, существует ещё одно множество чисел, которое содержит в себе все ранее изученные множества. Это множество называют множеством комплексных (ударение на второй слог) чисел и обозначают C.
N ϵ Z ϵ Q ϵ R ϵ С.
Историческая справка
С комплексными числами впервые математики встретились при решении квадратных уравнений.
Вспомним, если дискриминант полного квадратного уравнения отрицательный, то мы говорили, что уравнение не имеет корней. После знакомства с новыми числами, мы будем говорить, что во множестве действительных чисел уравнение не имеет корней, а во множестве комплексных чисел будем иметь два корня. Скоро мы узнаем формулы для их нахождения.
Вплоть до ХVI века математики всего мира, не находя приемлемого толкования для комплексных корней, возникавших при решении квадратных уравнений, объявляли их ложными и не принимали во внимание.
Джироламо Кардано, занимавшийся решением уравнений 3-й и 4-й степеней был одним из первых математиков, оперировавших комплексными числами, хотя их смысл во многом оставался для него неясным.
Смысл комплексных чисел разъяснил другой итальянский математик Рафаэль Бомбелли. В своей книге «Алгебра» (1572 г.) он впервые изложил правила действий над комплексными числами в современной форме.
Вместе с тем, вплоть до XVIII века, комплексные числа считали «воображаемыми» и бесполезными. Интересно отметить, что даже такой выдающийся математик как Рене Декарт, отождествлявший действительные числа с отрезками числовой прямой, считал, что для комплексных чисел не может быть никакого реального истолкования, и они навечно останутся воображаемыми, мнимыми. Аналогичных взглядов придерживались великие математики И. Ньютон и Г.В. Лейбниц.
И только в начале XIX века, когда уже была выяснена роль комплексных чисел в различных областях математики, была разработана очень простая и естественная их геометрическая интерпретация, позволившая уяснить геометрический смысл операций над комплексными числами.
Этому математика обязана К.Ф. Гауссу, опубликовавшему в 1831 г. свою работу по теории чисел. Тем самым был положен конец сомнениям в законном и полезном применении комплексного числа.
